MATERI
MATEMATIKA : PERSAMAAN DAN FUNGSI KUADRAT
A.
Persamaan Kuadrat
Persamaan kuadrat dalam x mempunyai
bentuk umum: ax2 + bx + c = 0 ,.a
0 a,b dan c adalah
bilangan real
0 a,b dan c adalah
bilangan real
a. Menyelesaikan persamaan kuadrat
dengan memfaktorkan
ax2 + bx + c = 0
dapat dinyatakan menjadi a (x – x1) (x – x2) = 0.
Nilai x1 dan x2 disebut
akar-akar (penyelesaian) persamaan kuadrat.
Contoh 1 :
Selesaikan x2 – 4 x +
3 = 0
Jawab: x2 – 4 x + 3 = 0
(x – 3) (x – 1) = 0
x – 3 = 0
atau x – 1 = 0
x = 3 atau x =
1
Jadi, penyelesaian dari x2 – 4 x + 3 = 0 adalah 3 dan 1.
b. Menyelesaikan persamaan kuadrat
dengan melengkapkan kuadrat sempurna
Persamaan kuadrat ax2 + bx + c = 0
dapat diselesaikan dengan mengubahnya menjadi (x + p)2 = q.
Contoh 1:
Tentukan himpunan penyelesaian
dari x2 – 6 x + 5
= 0.
Jawab: x2 – 6 x + 5 = 0
x2 – 6 x + 9 – 4
= 0
x2 – 6 x + 9 = 4
(x – 3)2 = 4
x –
3 = 2 atau x – 3 = –2
x =
5 atau x = 1
Jadi, himpunan penyelesaiannya
adalah{ 1 , 5}.
1. Menyelesaikan persamaan
kuadrat dengan menggunakan rumus
Rumus penyelesaian persamaan
kuadrat a x2 + b x +
c = 0 adalah
Contoh :
Tentukan himpunan penyelesaian
dari x2 + 7x – 30 = 0.
Jawab: x2 + 7x – 30 = 0
a = 1 , b = 7
, c = – 30
x = 3 atau x =
–10
Jadi, himpunan penyelesaiannya
adalah {–10 , 3}.
2.
Jenis-jenis Akar Persamaan Kuadrat
Kita perhatikan kembali persamaan
kuadrat ax2 + bx +
c = 0 dengan akar-akarnya ,
b2 – 4ac disebut diskriminan (D).
Contoh :
Tanpa menyelesaikan persamaan lebih
dahulu, tentukan jenis-jenis akar persamaan kuadrat berikut:
1.
x2 + 5 x + 2 = 0
Jawab :
1.
x2 + 5 x + 2 = 0
a = 1 , b = 5
, c = 2
D
= b2 – 4ac = 52 – 4 . 1 . 2 = 25 – 8 = 17
Ternyata
D > 0. Jadi, persamaan x2 + 5 x +
2 = 0 mempunyai dua akar real berlainan.
3.
Jumlah dan hasil kali akar-akar persamaan kuadrat
1.
Persamaan kuadrat ax2 + bx + c = 0 mempunyai
akar x1 dan x2.
ax2 + bx + c = 0
x2 +x + =
0
Karena x1 dan x2 merupakan
akar-akar persamaan kuadrat, maka :
Jadi, , .
Contoh:
Akar-akar x2 – 3x + 4 = 0 adalah x1 dan x2.
Dengan tanpa menyelesaikan persamaan tersebut, hitunglah nilai:
1.
x1 + x2 d.
2.
x1.x2 e. x13 + x23
3.
x12 + x22
Jawab: x2 – 3 x + 4 = 0
® a = 1 , b = –3
, c = 4
a. x1 + x2 = 3
b. x1.x2 = 4
c. x12 + x22 = x12 + x22 +
2 x1.x2 – 2 x1.x2
=
(x1 + x2)2 – 2 x1 x2 = 2 (-3)2 – 2 . 4 = 1
e. (x1 + x2)3 = x13 + 3 x12 x2 + 3 x1 x22 + x23
= x13 + 3 x1 x2 (x1 + x2) + x23
x13 + x23 = (x1 + x2)3 – 3 x1 x2 (x1 + x2)
=
33 – 3 . 4 (3)
= 27 – 36 = –9
4. Menyusun
Persamaan Kuadrat
Persamaan kuadrat dapat disusun
dengan:
- menggunakan perkalian faktor,
- menggunakan jumlah dan hasilkali
akar-akar.
a. Menyusun persamaan kuadrat dengan
menggunakan perkalian faktor
Pada bahasan terdahulu, persamaan
kuadrat x2 + p
x + q = 0 dapat dinyatakan sebagai
(x – x1) (x – x2) = 0 sehingga diperoleh akar-akar persamaan
itu x1 dan x2. Dengan demikian jika akar-akar persamaan
kuadrat x1 dan x2 maka persamaannya adalah (x – x1) (x – x2) = 0.
Contoh 1:
Tentukan persamaan kuadrat yang
akar-akarnya 3 dan -2.
Jawab: (x – x1) (x – x2) = 0
(x – 3) (x –
(-2)) = 0
(x – 3) (x +
2) = 0
x2 – 3 x +
2 x – 6 = 0
x2 – x – 6 = 0.
b. Menyusun persamaan kuadrat
menggunakan jumlah dan hasil kali akar-akar
Dengan menggunakan x1 + x2 =
– dan x1 x2 = , maka akan diperoleh persamaan:
x2 – (x1 + x2)x + x1x2 = 0.
Contoh:
Tentukan persamaan kuadrat yang
akar-akarnya –2 dan –3.
Jawab: x1 + x2 = -2 – 3 =
– 5
x1 x2 = 6
Jadi, persamaan kuadratnya x2 – (–5)x + 6 = 0
atau x2 + 5x +
6 = 0.
c. Menyusun persamaan kuadrat yang
akar-akarnya berkaitan dengan akar-akar persamaan kuadrat lain
Seringkali kita mendapatkan suatu
persamaan kuadrat yang akar-akarnya berhubungan dengan akar-akar persamaan yang
lain.
Contoh 1:
Susunlah persamaan kuadrat baru yang
akar-akarnya 3 lebih dari akar-akar persamaan x2 – 2x + 3 = 0.
Jawab:
Misal akar-akar persamaan x2 – 2x + 3 = 0 adalah x1 dan x2.
® x1 + x2 = 2 , x1 x2 = 3.
Jika akar-akar persamaan kuadrat
baru adalah p dan q, maka p =
x1 + 3 dan q = x2+3
p + q = (x1 + 3) + (x2 +
3) p
q = (x1 + 3) (x2 + 3)
= x1 + x2 +
6
= x1 x2 + 3(x1 + x2) + 9
= 2 + 6 =
8
= 3 + 2(2) + 9 = 16
Persamaan kuadrat yang
akar-akarnya p dan q adalah x2 – (p + q) + pq =
0.
Persamaan kuadrat baru adalah x2 – 8x + 16 = 0.
B. Fungsi Kuadrat
1. Pengertian
Fungsi f pada R yang
ditentukan oleh: f(x) = ax2 + bx + c dengan a, b,
dan c bilangan real dan disebut fungsi kuadrat.
Jika f(x) = 0
maka diperoleh persamaan kuadrat ax2 + bx + c = 0.
Nilai-nilai x yang memenuhi persamaan itu disebut nilai
pembuat nol fungsi f.
Nilai fungsi f untuk x
= p ditulis f(p) = ap2 + bp + c.
Contoh
1:
Ditentukan: f(x)
= x2 – 6x – 7
Ditanyakan:
1.
nilai pembuat nol fungsi f
2.
nilai f untuk x =
0 , x = –2
Jawab:
1.
Nilai pembuat nol fungsi f diperoleh
jika f(x) = 0
x2 – 6 x – 7 = 0
(x – 7) (x +
1) = 0
x =
7 atau x = –1
Jadi pembuat nol fungsi f adalah
7 dan –1
2. Nilai Maksimum dan Minimum Fungsi
Kuadrat
Untuk menentukan nilai
maksimum/minimum fungsi kuadrat, perhatikan uraian berikut:
1) f(x)
= x2 – 2x – 3
= x2 – 2x + 1 – 4
=(x – 1)2 – 4
Bentuk kuadrat selalu bernilai
positif atau nol, maka (x – 1)2 mempunyai
nilai paling kecil (minimum) nol untuk x = 1. Dengan
demikian (x – 1)2 – 4 mempunyai
nilai terkecil 0 – 4 = –4.
Jadi, f(x)
= x2 – 2x – 3
mempunyai nilai terkecil (minimum) –4 untuk x = 1.
2) f(x)
= –x2 + 4x + 5
= –x2 + 4x – 4 + 9
= –(x2 – 4x + 4) + 9
= –(x – 2)2 + 9
Nilai terbesar dari – (x –
2)2 sama dengan nol untul x = 2.
Dengan demikan nilai terbesar
dari – (x – 2)2 + 9 adalah
0 + 9 = 9.
Jadi, f(x) = –(x –
2)2 + 9 atau f(x) = –x2 + 4x + 5 mempunyai nilai terbesar
(maksimum) 9 untuk x = 2.
Sekarang perhatikan bentuk
umum f(x) = ax2 + bx + c
Dengan uraian di atas, diperoleh:
Fungsi kuadrat f(x)
= a x2 + b x +
c
Untuk a >
0, f mempunyai nilai minimum untuk
Untuk a <
0, f mempunyai nilai maksimum untuk
Contoh:
Tentukan nilai minimum fungsi f(x)
= 2x2 + 4x + 7
Jawab:
f(x) = 2x2 + 4x +
7 , a = 2 , b =
4 , c = 7
Nilai minimum fungsi f =
5
3. Grafik Fungsi Kuadrat
|
|
|
|
|
Grafik fungsi kuadrat f
: x ® y = a x2 +
b x + c grafiknya berbentuk parabola.
o Titik A dan titik B adalah
titik potong dengan sumbu-X.
o Titik C merupakan titik potong grafik
dengan sumbu-Y.
o Titik P merupakan titik balik/puncak
parabola.
o Garis yang melalui puncak dan sejajar dengan sumbu-Y disebut
sumbu simetri.
Cara melukis grafik fungsi kuadrat
dengan menentukan:
1)
Titik potong grafik dengan sumbu-X.
Titik potong itu terletak pada
sumbu-X sehingga absis titik tersebut diperoleh jika y = 0,
maka
a x2 + b x +
c = 0. Karena a x2 + b x +
c = 0 merupakan persamaan kuadrat, maka banyaknya titik potong dengan
sumbu-X tergantung pada D (diskriminan).
D > 0 ® terdapat dua titik potong yang
berlainan, yaitu (x1 , 0)
dan (x2 , 0).
D =
0 ® terdapat satu titik potong yang disebut titik singgung.
D <
0 ® tidak mempunyai titik potong dengan sumbu-X.
2)
Titik potong dengan sumbu-Y.
Karena titik potong terletak pada
sumbu-Y, maka ordinat titik potong itu diperoleh jika x= 0. Sehingga
koordinatnya (0 , c).
3)
Sumbu simetri
Karena sumbu simetri adalah garis
yang melalui titik puncak dan sejajar sumbu-Y maka persamaan sumbu simetri
adalah:
4)
Titik Puncak/ Balik
Koordinat titik puncak
Catatan:
o Grafik fungsi kuadrat dengan persamaan y = a
x2 + b x + c berbentuk
parabola.
o Parabola terbuka ke atas jika a > 0.
o Parabola terbuka ke bawah jika a < 0.
Contoh:
Buatlah sketsa grafik y = x2 – 2x – 3 untuk x e R.
Jawab:
Titik potong dengan sumbu-X
diperoleh jika y = 0.
x2 – 2x – 3 = 0
(x – 3) (x +
1) = 0
x =
3 dan x = –1
Koordinat titik potongnya adalah :
A(3 , 0) dan B(–1 , 0)
Titik potong dengan sumbu-Y
diperoleh jika x = 0
y = 0 – 0 – 3 = – 3
Koordinat titik potongnya C(0
, –3)
Sumbu simetri, garis
Titik puncak ® D(1 , –4)
Hubungkan titik-titik A, B, C,
dan D serta perhalus, sehingga diperoleh grafik fungsi
y = x3 – 2x – 3.
4. Menentukan
Fungsi Kuadrat yang Grafiknya Memenuhi Syarat-syarat Tertentu
a. Fungsi kuadrat yang grafiknya
melalui tiga buah titik
Contoh:
Tentukan persamaan grafik fungsi
kuadrat yang melalui titik (–1 , 0) , ( 1 , 8 ) dan ( 2, 6 ).
Jawab :
Misal persamaan grafik
adalah y = a x2 + b x +
c
Grafik melalui titik (–1 , 0)
® 0 = a(–1)2 + b (–1)
+ c
0 = a – b + c ……………….
(1)
Grafik melalui titik (1 , 8)
® 8 =a (1)2 + b (1)
+ c
8 = a + b + c ……………….
(2)
Grafik melalui titik ( 2 , 6 )
® 6 = a (2)2 + b (2)
+ c
6 = 4 a + 2 b + c ……………
(3)
Dari persamaan (1), (2), dan (3)
dapat ditentukan nilai a, b, dan c dengan
cara eliminasi.
(1) a – b + c =
0 (2) a + b + c =
8
a – b + c = 0
(2) a + b + c =
8
(3) 4a + 2b + c =
6
–2 – 4 + c = 0
–2b = –8
3a – b =
2
c = 6
b =
4
– 3a –
4 = 2
a = –2
Jadi, fungsi kuadrat itu
adalah y = –2x2 +
4x + 6.
b.
Fungsi kuadrat yang grafiknya memotong sumbu-X
Misalkan titik potongnya (p ,
0) dan (q , 0).
(p , 0) dan (q ,
0) memenuhi persamaan y = a x2 + b x + c sehingga
0= ap2 + bp + cdan
0= aq2 + bq + c .
Kedua persamaan itu dikurangkan, akan diperoleh:
0 = a(p2 – q2) + b(p – q)
b(p – q) = –a(p2 – q2)
= –a(p + q)
(p – q)
b =
– a(p + q)
Substitusikan b = – a(p + q)
ke ap2 + bp + c =
0
ap2 + (– a(p + q)) p + c =
0
ap2 – ap2 – pqa + c =
0
c = pqa
Untuk b = – a(p + q)
dan c = pqa maka
y = a x2 + b x +
c Û y = ax2 – a(p + q)x +
pqa
= a(x2 – (p + q)x +
pq)
= a(x – p)
(x – q)
Jadi, y = a(x – p)
(x – q) adalah fungsi kuadrat yang grafiknya memotong
sumbu-X di (p,0) dan (q,0).
Contoh:
Tentukan fungsi kuadrat yang
grafiknya memotong sumbu-X di titik (–5,0) dan (1,0), serta melalui titik (–3,
–8) !
Jawab:
Grafik memotong sumbu-X di titik
(–5,0) dan (1,0), maka fungsi kuadratnya
y = a(x –
(–5)) (x – 1)
= a(x + 5) (x –
1)
Grafik melalui titik (–3, –8),
berarti
–8 = a(–3+5) (–3 –
1)
= –8a
a =
1
Substitusikan a = 1
pada y = a(x + 5) (x –
1) sehingga diperoleh y = x2 + 4x – 5.
Jadi, fungsi kuadratnya adalah y = x2 + 4x – 5.
c. Menentukan fungsi kuadrat jika
koordinat titik puncak grafik fungsi itu diketahui
Koordinat titik tertinggi/ terendah
grafik fungsi kuadrat y = ax2 + bx + c adalah .
Dengan melihat kembali kajian
terdahulu, maka fungsi kuadrat y = ax2 + bx + c dapat
dinyatakan dengan .
Sehingga fungsi kuadrat yang
berpuncak di (p , q) adalah y = a (x – p)2 + q
Contoh:
Tentukan fungsi kuadrat yang grafiknya
mempunyai titik tertinggi (1,3) dan melalui titik (0,0).
Jawab:
Fungsi kuadrat yang grafiknya
berpuncak di (1,3) adalah y = (x – 1)2 + 3
Grafik melalui titik (0,0) berarti:
0 = a(0 – 1) + 3
0 = a + 3
a =
–3
Substitusikan a =
–3 pada y = a (x – 1)2 + 3 maka diperoleh
y = –3 (x – 1)2 + 3
y = –3 (x2 – 2x +
1) + 3
y = –3x2 + 6x
Jadi, fungsi kuadratnya adalah y =
–3x2 + 6x.
d. Fungsi kuadrat yang
grafiknya menyinggung sumbu-X
Perhatikan kembali bahasan tentang
“Titik potong grafik dengan sumbu-X”. Grafik akan menyinggung sumbu-X jika dan
hanya jika b2 – 4ac =
0, maka koordinat titik tertinggi atau terendah adalah (,0).
Sehingga .
Jadi, fungsi kuadrat yang grafiknya
menyinggung sumbu-X adalah .
Sehingga fungsi kuadrat yang
grafiknya menyinggung sumbu X adalah y = a(x – p)2
Contoh:
Tentukan fungsi kuadrat yang
grafiknya menyinggung sumbu-X di titik (2,0) dan melalui titik (0,4) !
Jawab:
Fungsi kwadrat yang grafiknya
menyinggung sumbu X di (2,0) adalah
y = a (x – 2)2
Grafik melalui titik (0,4) berarti :
4 = a(0 – 2)2 = 4a
a =
1
Jadi, fungsi kuadrat itu y =
1(x – 2)2 atau y = x2 – 4x + 4.
Pemakaian Diskriminan Persamaan
Kuadrat
Pada sub bab terdahulu, telah
dibahas diskriminan persamaan kuadrat ax2 + bx + c =0 yaitu D = b2 – 4ac . Selain itu
dibahas pula jumlah dan hasil kali akar-akar persamaan kuadrat.
Pada bagian ini akan dibahas
pemakaian diskriminan yang berhubungan dengan :
1.
jumlah dan hasil kali akar-akar
persamaan kuadrat
2.
tanda-tanda fungsi kuadrat
3.
garis dan parabola
b. Tanda-tanda fungsi kuadrat
Kedudukan parabola y = a
x2 + b x + c terhadap sumbu-X tergantung
pada nilai a dan nilai diskriminan .
1.
Berdasarkan tanda a
a >
0 , grafik fungsi kuadrat mempunyai titik balik minimum (parabola terbuka ke
atas).
a <
0 , grafik fungsi kuadrat mempunyai titik balik maksimum (parabola terbuka ke
bawah).
1.
Berdasarkan tanda D = b2 – 4 a c
D >
0 maka grafik fungsi kuadrat memotong sumbu-X di dua titik yang
berlainan.
D =
0 maka grafik fungsi kuadrat memotong sumbu-X di dua titik yang
sama atau parabola menyinggung sumbu-X.
D <
0 maka grafik fungsi kuadrat tidak memotong sumbu-X dan juga tidak
menyinggung sumbu-X.
Dengan menggabungkan
tanda-tanda a dan tanda-tanda D, diperoleh
kemungkinan bentuk-bentuk parabola sebagai berikut:
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Dengan memperhatikan gambar-gambar
di atas, diperoleh kesimpulan:
Fungsi kuadrat yang dinyatakan
dengan f(x) = a x2 + b x +
c = 0 , a ¹ 0.
Untuk a > 0:
1)
D > 0 ® dapat diuraikan menjadi :
f(x) = a (x – x1) (x – x2)
f(x) > 0 untuk x <
x1 dan x > x2
f(x) < 0 untuk x1< x < x2
2)
D = 0 ® dapat diuraikan menjadi :
f(x) = a (x – x1)2
f(x) > 0 untuk semua nilai x kecuali
untuk x = x1 maka f(x) =
0
3)
D < 0 ® tidak dapat diuraikan menjadi
f(x)
selalu positif untuk setiap x , disebut definit
positif.
Untuk a <
0:
1)
D > 0 ® dapat diuraikan menjadi :
f(x) = a (x – x1) (x – x2)
f(x) < 0 untuk x <
x1 dan x > x2
f(x) > 0 untuk x1< x < x2
2)
D = 0 ® dapat diuraikan menjadi :
f(x) = a (x – x1)2
f(x) > 0 untuk semua nilai x kecuali
untuk x = x1 maka f(x) =
0
3)
D < 0 ® tidak dapat diuraikan menjadi :
f(x)
selalu positif untuk setiap x , disebut definit
negatif.
Contoh 1:
Tentukan batas-batas nilai p agar
fungsi f(x) = x2 – 4 x – m +
2 definit positif.
Jawab:
f(x) = x2 – 4 x – m +
2
Syarat agar fungsi kuadrat definit
positif adalah a > 0 dan D < 0.
a = 1 bilangan positif
D = (–4)2 –
4 (1) (–m + 2) = 16 + 4 m – 8
= 4 m + 8
D < 0 « 4 m +
8 < 0
m <
–2
Jadi, agar f(x)
= x2 – 4 x – m +
2 definit positif, maka m < –2
mudah mudahan bermanfaat
BalasHapus